Fractais

[Zedd]

Depois da gurizada ter gostado do Dilema do Prisioneiro, resolvi postar sobre outra coisa nerd que me instiga: Fractais.

Muita gente conhece o fractal como uma 'figura complicada', 'que se repete'. São conclusões tiradas da observação simples de figuras como essas:

 

 

 

 

 

Esse último eu que fiz =P

Realmente, fractais tem as seguite características:

1- Estrutura Fina: o grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinarmos uma porção arbitrariamente pequena do mesmo. O fractal possui detalhes em partes tão pequenas quanto se possa imaginar;
2- Auto-similaridade: se tomarmos uma porção do fractal, esta irá se assemelhar a uma porção maior, ou ao fractal inteiro. Alguns tem auto-similaridade estrita, isto é, uma porção menor é exatamente igual a uma porção maior. Tem um gif que mostra a auto-similaridade estrita na wiki em ingles no termo fractal. Não consigo linkar!;
3- Simplicidade na lei de formação: o processo de construção de um fractal é simples e direto. Geralmente é iterativo (i.e, repetições simples) e sua construção obedece a um algoritmo simples.

 

E aqui tem o exemplo da ampliação até 100x de um detalhe de um dos conjuntos mais famosos do mundo, o Mandelbrot (mais sobre isso abaixo):

 

 

 

DIMENSÃO

Mas o que me deu um nó na cabeça é o seguinte: a dimensão espacial de um fractal.

Dimensão espacial é um conceito um pouco diferente do que a gente entende por dimensão porque, casualmente, para figuras geométricas 'normais' a dimensão espacial e a topográfica são idênticas. A dimensão topográfica depende do tamanho e forma. A espacial é relacionada ao 'espaço que ocupa'.

Mas não para os fractais. Para eles, a dimensão espacial (ou "dimensão fractal") é SEMPRE maior que a dimensão topográfica.

Existem dois meios de calcular a dimensão espacial: por auto-similaridade ou por contagem de caixas. Para exemplificar ambos utiliza-se um negócio chamado Conjunto de Cantor, vou mostrar como se descobre essa diferença das dimensões através disso. Se alguém não quiser ver, pule pro final.

CONJUNTO DE CANTOR
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor: tomando-se o intervalo [0,1], dividimos esse intervalo em três partes iguais. Em seguida, removemos a parte central, ou seja, o intervalo (0.3333... , 0.6666...), restando então [0,0.33333...] U [0.666...,1]. Repete-se o processo para cada segmento e para cada segmento resultante, fazendo o número de etapas k tender ao infinito: o conjunto K dos pontos que não foram retirados é o conjunto de Cantor.
É só isso aqui:

 

Não vou postar a prova, mas tem uma proposição que diz que: na etapa k, o número de segmentos é de 2^k (2 elevado na k) e o comprimento de cada um é de (1/3)^k (um terço na k).

Pois bem, aí vamos mostrar através de exemplos o cálculo por similaridade e o cálculo por contagem de caixas.

Na dimensão por auto-similaridade, reduz-se um objeto em N partes reduzidas de um fator R. Vamos começar mostrando em figura normal.Por exemplo: um segmento. Sabemos que a dimensão dele é igual a 1 (ele só tem 'largura', D = 1) e no começo, tomando uma parte (ele inteiro, N = 1) e o fator 1 (ele não está dividido, está inteiro, R = 1). Recapitulando: uma dimensão, D é 1, um pedaço, N é 1, sem divisão, fator inteiro, R = 1.

Dividindo em duas partes iguais temos N = 2 e R = 1/2 (ou seja, temos meio segmento). Então: uma dimensão, D=1, dois pedaços, N=2 e fator é meio (ele tá dividido no meio uma vez), R = 1/2. Em três partes, N = 3 e R = 1/3 (em três partes, temos um terço do segmento e um fator de um terço). Então tira-se daí a fórumla que para um segmento, N = (1/R)^D (ou seja, o número de pedaços é igual ao inverso do fator que se tem, elevado na dimensão do segmento, que é um). Tudo certo até aqui? Leia denovo se ficou meio fuzzy. Mais rapidinho então para o quadrado.

Quadrado: dimensão 2 (D = 2) e tomando uma parte e fator 1 (R=1, N =1). Dividindo-se em dois os seus lados temos N = 4, R = 1/2 (desenhe um quadrado e corte no meio cada lado, quantas 'peças' ficam? 4 -> N, para um fator de 'meio' quadrado).

 

. Dividindo em três, N=9 e R = 1/3. Deu pra ver que é a mesma fórmula do segmento?

Dá pra fazer a mesma coisa pra um cubo e assim por diante (fica difícil visualizar depois do cubo auehuea). Mas a mesma relação continua valendo: N = (1/R) ^ D. Como o conceito de dimensão espacial é uma extensão ao conceito de dimensão topológica, se a figura possuir auto-similaridade, então sua dimensão é dada por D = logN / log(1/R).

Calculando a dimensão do conjunto de Cantor então, basta analisar o que muda de uma etapa para a próxi,a. Sabemos que em cada etapa no lugar de um segmento ficamos com dois, então N = 2, e esse segmento é obtido reduzindo o segmento anterior a um fator de 1/3, então R = 1/3. Substituindo na relação acima, tcharam: D = log2/log3 =~ 0.63.

0.63.
O que isso significa? Significa que o Conjunto de Cantor ocupa MAIS espaço que ponto e MENOS espaço que uma reta, e no entanto tem dimensão topológica ZERO porque consista de pontos pulverizados (tão pulverizados que na dimensão topológica não tem 'área', grosseiramente falando!).

Assim, a dimensão espacial, que a gente calculou, é maior que a dimensão topológica. Bricks have been shat?

TL;DR?
Voltando aos fractais! Pra que servem?

Antigamente, não se via regularidade em certos fenômenos físicos e biológicos, que eram descritos como "aleatórios", "monstros" ou "caóticos". Eis que se estudam os fractais.
"Haverá alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores, ou dos rios?" -B. Mandelbrot, um tio foda

Não, não haverá. E outras coisas do mundo físico também. Olha o que dá uma descarga elétrica num bloco de acrílico:

 

Olha esse tipo de couve e me diz se parece com algo que tem nesse tópico:

 

E ainda, essas duas simulações por computador feitas, como mandam as leis pra gerar um fractal, por algoritmos simples:

 

 

 

 

Quem quiser brincar de gerar fractais (eles dão ÓTIMOS papéis de parede) pode brincar com esse programa aqui:http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html
Aqui tem um tuto legal: http://ambaka.com/sterling/

[dark_man]

Conheci esse termo no primeiro ano do colegial, meu professor de quimica tinha uma banda chamada Fractais e falou um pouquinho a respeito.

De lá pra cá já pesquisei bastante, a ponto de ter alguma noção e de admirar também mas nda como esse seu post pra clarear um pouco as coisas, valeu zedd!

ps. Por que naquele gif o tringulo "deforma" ele progride pra todos os lados conforme vai se dividindo?

[Zedd]

Eu não sei dizer porque não sei qual é o algoritmo usado, mas creio que seja um negócio em 3d e que a cada iteração pega a figura anterior e replica para lateralmente e para cima, acho que aplica rotação no eixo de base na figura 'anterior'. Só sei que o algoritmo é simples porque li um pouco do cara que fez:
http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/montanhae.html

edit: dãpz, to com sono já
ele explica aqui
The midpoints of the 3 lines of each triangle are found and are moved up or down (randomly) within a certain range of values. Four triangles are generated from each original triangle. The same procedure is repeated 6 or 7 times but each time moving the midpoints within a range of values which is half of the previous one.

Vo aproveitar que to fazendo computação gráfica e vo dar uma estudada pra fazer uma implementação de um fractal 3d também.

[deadcow]

ainda nao li inteiro dei uma bizoiada por cima mas, nao faltou falar sobre a espiral?

esquece é que tu falou mta matematica pra minha cabecinha de piolho

[Aveia-Quaker]

Não li tudo, mas não acho que a "couve" postada seja real. (não sei se é real).

Uma vez eu fiz um trabalho de programação sobre recursão e desenvolvi um algoritmo em pascal para implantar uns 3 fractais... Não lembro quais, mas um deles era o triângulo de Sierpinski.

Outra coisa legal, com um assunto parecido, é que eu estava lendo em alguma página, que um maluco pegou uma concha nautilus e comparou com aquele desenho clássio usando a sério de Fiobonacci (que eu não lembro o nome e to com preguiça de procurar antes do trampo) e relatou que não conseguia "encaixar" o desenho da concha que ele tinha. Depois vou até pesquisar mais....

Posta depois o paradoxo do "cara ou coroa", já que já postou o do prisioneiro.

[Sussa]

O legal qdo vc ta criando fractais é que ate os erros são lindos. dsahuashudads
O primeiro fractal que eu programei foi o Mandelbrot em uma disciplina do mestrado. Depois disso eu sai fazendo umas invensões e cima até que chegou uma hora e perdeu a graça. hahuddhuadua

[Aveia-Quaker]

http://krazydad.com/bestiary/bestiary_fern.html
http://www.eccesignum.org/flash/fractal/

Eu sabia uns sites MUITO melhores que esses eu tinha achado via stumble, mas agora não lembro nenhum! hehehehe Se eu achar um posto para vocês.

[Aveia-Quaker]

Antes tarde do que nunca... A tal couve:
http://estouest.blog.lemonde.fr/file...1/dscn3364.JPG

[troy]

PSYCHO!!!

Curti a couve... aonde acho uma dessas? uhahuahua

[roadster]

issu c chama psicodelia

[Mr. Valle]

Acho que na vida agente tem que ser humilde e admitir:

Não entendi porra nenhuma.

Proto, falei.

[punisher]

Mandou bem zedd, seu nerdasso aheuaehu

essa couve flor me lembrou outra planta

[Zedd]

Valle, tu não entendeu a parte da prova das dimensões espaciais?
É meio ruim de ver com as fórmulas escritas assim sem notação que a gente conhece, mesmo, e sem apoio visual
Até fiz um quadrado tosquinho no paint, vou fazer uma explicação mais história em quadrinho com as fórmulas bem escritas, aí dá uma olhada denovo.

[maFious]

fractal do windows
ahhuaehuaeuhaeuheauhae

 

[Oleleh]

pra mim fractais sao umas cartas de magic

[Chronos]

Sempre que falam de fractal eu lembro de uma imagem que peguei na net no primeiro período da facul:

 

Acredito que os melhores exemplos de fractais na natureza são os flocos de neve! Muito foda:

 

 

E uma formulação matemática de Fractal famosa é o "Floco de neve", de Koch!

Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

 

Acredito que essa era a imagem que o Zedd tentou postar:

 

[zorba]

http://www.neave.com/
aqui tem um fractal loco

[roadster]

um q uso de fundo de tela aki pra galera

 

[Bombastic]

ja usei essa tela por um tempao road

[Zedd]

RISE FROM YOUR GRAVE
Caralho.
Assistam esse vídeo, é com o Arthur C. Clarke narrando e falando sobre fractal geometry e o set de mandelbrot.

ahm, porque nao fica embeddado automático?
http://video.google.com/videoplay?do...8277666323857#

[AracnotroN]

É legal um fractal.

Mas chega uma hora que cansa, como tudo hahahha.

Yes! I'm bored...

[Sussa]

Eu implementei 2 fractais na epoca do mestrado.
http://dl.dropbox.com/u/3540741/Julia_Mandel.zip (271kb)

Eh em opengl, tem uma animaçãozinha firulenta e tals... Se não rodar me avisem pq posso ter esquecido alguma dll.

edit: nao rodem em fullscreen. fica feio. =/